torch.linalg.eig

torch.linalg.eig(A, *, out=None)

計算方陣的特徵值分解（如果存在）。

令 $\mathbb{K}$ 為 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，方陣 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 的特徵值分解（如果存在）定義為

$$A = V \operatorname{diag}(\Lambda) V^{-1}\mathrlap{\qquad V \in \mathbb{C}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{C}^n}$$

此分解存在若且唯若 $A$ 是 可對角化的。當其所有特徵值都不同時，就是這種情況。

支援 float、double、cfloat 和 cdouble 資料類型作為輸入。 也支援批次矩陣，如果 A 是一批矩陣，則輸出具有相同的批次維度。

不保證返回的特徵值具有任何特定順序。

注意

實數矩陣的特徵值和特徵向量可能為複數。

注意

當輸入位於 CUDA 裝置上時，此函數會將該裝置與 CPU 同步。

警告

此函數假設 A 是 可對角化的（例如，當所有特徵值都不同時）。 如果它不可對角化，則返回的特徵值將是正確的，但 $A \neq V \operatorname{diag}(\Lambda)V^{-1}$。

警告

返回的特徵向量經過正規化，使其範數為 1。 即使這樣，矩陣的特徵向量也不是唯一的，也不會隨著 A 而連續。 由於這種缺乏唯一性，不同的硬體和軟體可能會計算出不同的特徵向量。

這種非唯一性是因為將特徵向量乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ 會產生矩陣的另一組有效特徵向量。因此，損失函數不應取決於特徵向量的相位，因為這個量沒有明確的定義。在計算此函數的梯度時會檢查這一點。因此，當輸入位於 CUDA 裝置上時，此函數的梯度計算會將該裝置與 CPU 同步。

警告

僅當 A 具有不同的特徵值時，使用 eigenvectors 張量計算的梯度才會是有限的。此外，如果任意兩個特徵值之間的距離接近於零，則梯度在數值上將是不穩定的，因為它取決於通過計算 $\frac{1}{\min_{i \neq j} \lambda_i - \lambda_j}$ 的特徵值。

參見

torch.linalg.eigvals() 僅計算特徵值。與 torch.linalg.eig() 不同，eigvals() 的梯度在數值上始終是穩定的。

torch.linalg.eigh() 提供了一個（更快）的函數，用於計算埃爾米特矩陣和對稱矩陣的特徵值分解。

torch.linalg.svd() 提供了一個函數，用於計算另一種類型的譜分解，該譜分解適用於任何形狀的矩陣。

torch.linalg.qr() 提供了另一種（快得多）的分解，該分解適用於任何形狀的矩陣。

參數

A (Tensor) – 形狀為 (*, n, n) 的張量，其中 * 是由可對角化矩陣組成的零個或多個批次維度。

關鍵字參數

out (tuple, optional) – 兩個張量的輸出元組。如果為 None，則忽略。預設值：None。

返回

一個名為 (eigenvalues, eigenvectors) 的命名元組，它對應於上面的 $\Lambda$ 和 $V$。

即使 A 是實數，eigenvalues 和 eigenvectors 也將始終是複數值。特徵向量將由 eigenvectors 的各列給出。

範例

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A
tensor([[ 0.9828+0.3889j, -0.4617+0.3010j],
        [ 0.1662-0.7435j, -0.6139+0.0562j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> L
tensor([ 1.1226+0.5738j, -0.7537-0.1286j], dtype=torch.complex128)
>>> V
tensor([[ 0.9218+0.0000j,  0.1882-0.2220j],
        [-0.0270-0.3867j,  0.9567+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(V @ torch.diag(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(7.7119e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> torch.dist(V @ torch.diag_embed(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(3.2841e-16, dtype=torch.float64)